Основано на упр. 3, стр. 6 Докажи, что при любом n \in N число p = n^{3} + 20n + 10^{5} + 2 делится на 3. Решение. Число a = 10^5 - 1 + 3 делится на (можно воспользоваться также тем, что сумма цифр числа 10^{5} + 2, равная трём, делится на ). При n=1 число b = n^{3} + 20n делится на . Покажем, что при любом n \in N, \space n \gt 1, число b делится на , представив его в виде b = n^{3} - n + 21n. Так как c=n^{3}-n=(n-1)n(n+1) — произведение трёх последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на , то c делится на , откуда b = c+21n делится на , тогда и p = a + b делится на .

Задание

Основанонаупр.3, стр.6
Заполнипропускиврешении

Докажи, чтоприлюбом \(n\inN\) число \(p=n^{3}+20n+10^{5}+2\) делитсяна \(3\) .

Решение.Число \(a=10^5 - 1+3\) делитсяна[ ](можновоспользоватьсятакжетем, чтосуммацифрчисла \(10^{5}+2\) , равнаятрём, делитсяна[ ]).

При \(n=1\) число \(b=n^{3}+20n\) делитсяна[ ].Покажем, чтоприлюбом \(n\inN, \spacen\gt1\) , число \(b\) делитсяна[ ], представивеговвиде \(b=n^{3} - n+21n\) .Таккак \(c=n^{3}-n=(n-1)n(n+1)\) — произведениетрёхпоследовательныхнатуральныхчисел, изкоторыходноделитсяна[ ], то \(c\) делитсяна[ ], откуда \(b=c+21n\) делитсяна[ ], тогдаи \(p=a+b\) делитсяна[ ].

Похожие

Тот же тест