Основано на упр. 2 стр. 9 Докажи, что число a делится на m, если: a=4 \cdot 35^{19}+13 \cdot 52^{15}, m=17; a= 3 \cdot 5^{25}+ 4^{7} \cdot 9^{6}, m=19; a= 5 \cdot 7^{243}+16^{132}+3^{430}, m=10. Решение. Так как 35 \equiv (mod 17), 52 \equiv{1} (mod 17), то a \equiv{4+13}\, (mod 17), т.е. a делится на . Пользуясь тем, что 25 \equiv{6} (mod 19), 4^{7} \cdot 9^{6} = 4 \cdot 6^{12}, 5^{25} \equiv{5 \cdot 16^{12}} (mod 19), имеем a \equiv 15 \cdot 6^{12}+4 \cdot 6^{12} \equiv 0 (mod 19), т.е. a делится на . Так как \equiv 7^3 \equiv 3 (mod 10), 16^{132} \equiv 6 (mod 10), 3^{430} \equiv 3^{2} (mod 10), то а \equiv 5 \cdot 3 + 6 + 9 \equiv 0 (mod 10), т. е. a делится на .

Задание

Основано на упр. 2 стр. 9

Докажи, что число \(a\) делится на \(m\) , если:

Решение.

Так как \(35 \equiv\) [ ] (mod \(17\) ), \(52 \equiv{1}\) (mod \(17\) ), то \(a \equiv{4+13}\,\) (mod \(17\) ), т.е. \(a\) делится на
[ ].
Пользуясь тем, что \(25 \equiv{6}\) (mod \(19\) ), \(4^{7} \cdot 9^{6} = 4 \cdot 6^{12}\) , \(5^{25} \equiv{5 \cdot 16^{12}}\) (mod \(19\) ), имеем \(a \equiv 15 \cdot 6^{12}+4 \cdot 6^{12} \equiv 0\) (mod \(19\) ), т.е. \(a\) делится на
[ ].
Так как
[ ] \( \equiv 7^3 \equiv 3\) (mod \(10\) ), \(16^{132} \equiv 6\) (mod \(10\) ), \(3^{430} \equiv 3^{2}\) (mod \(10\) ), то \(а \equiv 5 \cdot 3 + 6 + 9 \equiv 0\) (mod \(10\) ), т. е. \(a\) делится на
[ ].