Основано на упр. 2, стр. 14
Заполни пропуски в решении

Реши неравенство \(x^{\sin{x}-a} \gt 1\) , если \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(a \gt 0\) .

Решение. При \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) , \(a \gt 0\) данное неравенство можно представить в виде \((\sin{x}-a)\lg{x} \gt\) [ ].

1. Если \(a \geqslant 1\) , то \(\sin{x}-a \lt 0\) , тогда \(\lg{x} \lt 0\) , откуда

   [ ] \(\lt x \lt\) [ ].

2. Если \(0 \lt a \lt 1\) , то \(\sin{x}-a\) может принимать как положительные, так и отрицателные значения (рис. \(5\) ).

   Так как \(0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) , то неравество \(\sin{x}-a \lt\) [ ] выполняется при

   \(0 \lt x \lt \arcsin{a}\) , а

   неравенство \(\sin{x}-a \gt\) [ ]выполянется при

   \(\arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) . Неравенство \(\lg{x} \lt 0\) выполняется при

   [ ] \(\lt x \lt\) [ ], а неравенство \(\lg{x} \gt\) [ ] выполняется при

   [ ] \(\lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\)

   (по условию [ ] \(\lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) ).

Таким образом, неравенство \(\) равносильно совокупности двух систем неравенств

\(\begin{cases} 0 \lt x \lt \arcsin{a}, \\ 0 \lt x \lt 1,\end{cases}\)

\(\begin{cases} \arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}, \\ 1 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}.\end{cases}\)

В первой системе \(0 \lt x \lt \arcsin{a}\) , если \(\arcsin{a} \leqslant\) [ ], т.е. \(a \leqslant \sin\) [ ], и [ ] \(\lt x \lt\) [ ], если \(\arcsin{a} \gt\) [ ], т.е. \(a \gt \sin\) [ ].

Во второй системе [ ] \(\lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) , если \(\arcsin{a} \leqslant\) [ ], т.е. [ ] \(\lt a \leqslant \sin\) [ ]; \(\arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) , если \(\arcsin{a} \gt\) [ ], т.е. \(a \gt \sin\) [ ].

Ответ:

[ ] \(\lt x \lt \arcsin{a}\) , [ ] \(\lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) при \(a \leqslant \sin\) [ ];

[ ] \(\lt x \lt\) [ ], \(\arcsin{a} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}\) при \(\sin\) [ ] \(\lt a \lt\) [ ], \(a \geqslant\) [ ].