Основано на упр. 2, стр. 12 Докажи, что функция f(x)=\sqrt{2x-3} возрастает на всей области определения, т. е. на промежутке [1,5; +\infty). Решение. Пусть \leqslant x_1\lt x_2. Докажем, что f(x_1)\lt f(x_2). Для этого определим знак разности f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{2x_1-3}-\sqrt{2x_2-3}. Умножим и разделим эту разность на положительное число \sqrt{2x_1-3}+\sqrt{2x_2-3} (корни не обращаются в нуль одновременно): f(x_1)-f(x_2)=\sqrt{2x_1-3}-\sqrt{2x_2-3}=\dfrac{2(x_1-x_2)}{\sqrt{2x_1-3}+\sqrt{2x_2-3}}. Числитель полученной дроби отрицательный, так как x_1 x_2, знаменатель положительный, поэтому f(x_1)-f(x_2)\lt , т. е. f(x_1)\lt f(x_2). Итак, большему значению аргумента из промежутка соответствует большее значение функции, следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Задание

Основано на упр. 2, стр. 12

Запиши ответы

Докажи, что функция \(f(x)=\sqrt{2x-3}\) возрастает на всей области определения, т. е. на промежутке \([1,5; +\infty)\) .

Решение. Пусть [ ] \(\leqslant x\_1\lt x\_2\) . Докажем, что \(f(x\_1)\lt f(x\_2)\) . Для этого определим знак разности \(f(x\_1)-f(x\_2)=\sqrt{2x\_1-3}-\sqrt{2x\_2-3}\) . Умножим и разделим эту разность на положительное число \(\sqrt{2x\_1-3}+\sqrt{2x\_2-3}\) (корни не обращаются в нуль одновременно):

\(f(x\_1)-f(x\_2)=\sqrt{2x\_1-3}-\sqrt{2x\_2-3}=\dfrac{2(x\_1-x\_2)}{\sqrt{2x\_1-3}+\sqrt{2x\_2-3}}\) .

Числитель полученной дроби отрицательный, так как \(x\_1\) [ ] \( x\_2\) , знаменатель положительный, поэтому \(f(x\_1)-f(x\_2)\lt\) [ ], т. е. \(f(x\_1)\lt f(x\_2)\) .

Итак, большему значению аргумента из промежутка [ ] соответствует большее значение функции, следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Похожие

Тот же тест