Заполни пропуски в решении и запиши ответ

Найди все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \(x^4-3ax^2-9a+3a^2=0\) (1) имеет ровно три корня.

Решение.

Для каждого значения \(a\) рассмотрим функцию \(f(x)=x^4-3ax^2-9a+3a^2=0\) . Она определена на множестве \(\R\) . Эта функция [чётная|нечётная], так как для любого \(x \in \R\) справедливо равенство \(f(-x)=f(x)\) .

Поэтому если число \(x\_0\) — корень уравнения (1), то число \(-x\_0\) тоже корень этого уравнения. Уравнение (1)имеет ровно три корня тогда и только тогда, когда оно имеет корень \(x\_0=\) [ ]и ещё два отличных от нуля корня, отличающихся знаками. Найдём все значения \(a\) , при каждом из которых число нуль является корнем уравнения (1). Подставив \(x=0\) в уравнение (1), получим, что это возможно только в двух случаях: при \(a=0\) и при \(a=3\) . Итак, при \(a=0\) и при \(a=\) [ ] уравнение (1) имеет корень \(x\_0=\) [ ].

При \(a=0\) уравнение (1) имеет вид \(x^4=\) [ ]. Это уравнение имеет только один корень \(x\_0=\) [ ].

При \(a=3\) уравнение (1) имеет вид \(x^4-9x^2=0\) . Это уравнение имеет ровно три корня: \(x\_0=0\) , \(x\_1=3\) и \(x\_2=\) [ ].

Следовательно, только при \(a=\) [ ] уравнение (1) имеет ровно три корня.

Ответ: \(a=\) [ ].