Основано на упр. 12, стр. 8
Заполни пропуски

Даны точки: \(A (2; –1), B (5; –3), C (–2; 11), D (–5; 13)\) . Докажи, что они являются вершинами параллелограмма.

Доказательство.

Воспользуемся признаком параллелограмма: если в четырёхугольнике две стороны равны и [ ], то этот [ ] является [ ]. В силу этого признака достаточно показать, что:

а) \(\overrightarrow{AB}\) [ ] \(\overrightarrow{DC}\) ;

б) точки \(A, B\) и \(D\) не лежат на одной прямой.

а) Так как \(A (2; –1), B\) ([ ];[ ]), то \(\overrightarrow{AB}\) {[ ];[ ]}; так как \(C (–2; 11), D\) ([ ];[ ]), то \(\overrightarrow{DC}\) {[ ];[ ]}. Итак, \(\overrightarrow{AB}\) [ ] \(\overrightarrow{DC}\) .

б) Точки \(A, B\) и \(D\) лежат на одной [ ], если координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) пропорциональны. Так как \(\overrightarrow{AB}\) {[ ];[ ]} и \(\overrightarrow{AD}\) {[ ];[ ]}, то координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) [ ], поэтому эти векторы не коллинеарны и, следовательно, точки \(A, B\) и \(D\) [ ] на одной прямой. Итак, четырёхугольник \(ABCD\) — [ ], что и требовалось доказать.