Основано на упр. 1 стр. 23 Перетащи ответы в правильные места a^n \bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^{n-2} x xa^{n-2} Докажи равенство: x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+...+xa^{n-2}+a^{n-1}). \space\space\space(1) Решение. Рассмотрим сумму n первых членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1, а знаменатель равен t, т. е. сумму S_n=1+t+...+t^{n-1}, где t\ne0, t\ne1. Тогда S_n=\dfrac{1-t^n}{1-t}, откуда 1-t^n=(1-t)(1+t+...+t^{n-1} ).\space\space\space(2) Чтобы воспользоваться формулой (2), преобразуем левую часть равенства (1): x^n-a^n=x^n\bigg(1-\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^n\bigg). \space\space\space(3) Полагая \dfrac{a}{x}=t, из равенств (3) и (2) находим x^n-=\bigg(1-\dfrac{a}{x}\bigg)x^{n-1}\bigg(1+\dfrac{a}{x}+\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^2+...++\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^{n-1}=(-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+...++a^{n-1}). Формула (1) доказана.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основано на упр. 1 стр. 23
Перетащи ответы в правильные места

  • \(a^n\)
  • \(\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^{n-2}\)
  • \(x\)
  • \(xa^{n-2}\)

Докажи равенство:

\(x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+...+xa^{n-2}+a^{n-1})\) . \(\space\space\space(1)\)

Решение. Рассмотрим сумму \(n\) первых членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1, а знаменатель равен \(t\) , т. е. сумму \(S\_n=1+t+...+t^{n-1}\) , где \(t\ne0\) , \(t\ne1\) .

Тогда \(S\_n=\dfrac{1-t^n}{1-t}\) , откуда

\(1-t^n=(1-t)(1+t+...+t^{n-1}\) \().\space\space\space(2)\)

Чтобы воспользоваться формулой \((2)\) , преобразуем левую часть равенства \((1)\) :

\(x^n-a^n=x^n\bigg(1-\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^n\bigg)\) . \(\space\space\space(3)\)

Полагая \(\dfrac{a}{x}=t\) , из равенств \((3)\) и \((2)\) находим

\(x^n-\) [ ] \(=\bigg(1-\dfrac{a}{x}\bigg)x^{n-1}\bigg(1+\dfrac{a}{x}+\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^2+...+\) [ ] \(+\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^{n-1}=(\) [ ] \(-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+...+\) [ ] \(+a^{n-1})\) .

Формула \((1)\) доказана.

Тот же тест