Задание

Основано на упр. 1 стр. 23

Перетащи ответы в правильные места

a^n \bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^{n-2} x xa^{n-2}

Докажи равенство:

x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+...+xa^{n-2}+a^{n-1}). \space\space\space(1)

Решение. Рассмотрим сумму n первых членов геометрической прогрессии, в которой первый член равен 1, а знаменатель равен t, т. е. сумму S_n=1+t+...+t^{n-1}, где t\ne0, t\ne1.

Тогда S_n=\dfrac{1-t^n}{1-t}, откуда

1-t^n=(1-t)(1+t+...+t^{n-1} ).\space\space\space(2)

Чтобы воспользоваться формулой (2), преобразуем левую часть равенства (1):

x^n-a^n=x^n\bigg(1-\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^n\bigg). \space\space\space(3)

Полагая \dfrac{a}{x}=t, из равенств (3) и (2) находим

x^n-=\bigg(1-\dfrac{a}{x}\bigg)x^{n-1}\bigg(1+\dfrac{a}{x}+\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^2+...++\bigg(\dfrac{a}{x}\bigg)^{n-1}=(-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+...++a^{n-1}).

Формула (1) доказана.