Основано на Примере 3 с решением стр. 25

Пример с решением

Пусть \(x+y+z=u\) , \(xy+yz+zx=v\) , \(xyz=w\) , выразим симметрический многочлен \(x^3+y^3+z^3\) через элементарные симметрические многочлены \(u\) , \(v\) , \(w\) .

Решение. Используя равенство \((x+y+z)^3=((x+y)+z)^3=(x+y)^3+\) [ ] \((x+y)^2z+\) [ ] \((x+y)z^2+z^3=x^3+y^3+z^3+\) [ ] \(x^2y+\) [ ] \(xy^2+\) [ ] \(x^2z+6xyz+\) [ ] \( y^2z+\) [ ] \(xz^2+\) [ ] \(yz^2=x^3+y^3+z^3+\) [ ] \(xy(x+y+z)+\) [ ] \(xz(x+y+z)+\) [ ] \(yz(x+y+z)-\) [ ] \(xyz=x^3+y^3+z^3+\) [ ] \((x+y+z)(xy+xz+yz)-\) [ ] \(xyz\) , получаем

\(x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+xz+yz)+3xyz\) ,

т.е. \(x^3+y^3+z^3=u^3-\) [ ] \(uv+\) [ ] \(w\) .