Запиши ответы

Ещё один способ отбора корней тригонометрического уравнения состоит в использовании числовой окружности. Рассмотрим пример.

Найди корни уравнения \(\sin x=-\dfrac{1}{2}\) , принадлежащие промежутку \(\left [\pi ;\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .

Решение.

На числовой окружности выделим дугу, соответствующую промежутку \(\left [\pi ;\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) .

Решениями данного нам уравнения являются две серии точек:

\(x\_1=-\dfrac{\pi }{6}+2\pi n\) , \(n\in \Z\) ,

\(x\_2=\dfrac{7\pi }{6}+2\pi m\) , \(m\in \Z\) .

Отметим эти точки на числовой окружности как \(X\_1\) и \(X\_2\) соответственно.

Так как точки \(X\_1\) и \(X\_2\) лежат на выделенной дуге, то среди решений найдутся те, которые принадлежат промежутку \(\left [\pi ;\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) . Найдём их.

Начинаем двигаться по выделенной дуге из точки \(\pi\) в точку \(\dfrac{5\pi }{2}\) . Заметь, что так мы двигаемся от меньшего значения к большему. Первой на пути встречаем точку \(X\_2\) . При этом мы сдвинулись из точки \(\pi\) на угол \(\dfrac{\pi }{6}\) . Вычислим соответствующее значение:

\(\pi +\dfrac{\pi }{6}=\) [ ].

Далее на нашем пути мы встречаем точку \(X\_1\) . Мы можем вычислить значение, соответствующее этой точке, например, так: заметим, что из \(\dfrac{3\pi }{2}\) в \(X\_1\) мы перемещаемся на угол \(\dfrac{\pi }{3}\) . Вычислим искомое значение:

\(\dfrac{3\pi }{2}+\dfrac{\pi }{3}=\) [ ].

Второе значение можно также вычислить переходом из точки \(2\pi\) в точку \(X\_1\) : \(2\pi -\dfrac{\pi }{6}\) .

Продолжая двигаться дальше по выделенной дуге, мы дойдём до \(\dfrac{5\pi }{2}\) и при этом больше никаких точек, являющихся решениями нашего уравнения, мы не встретим. Дугу мы прошли полностью, все значения найдены.

Значения вводи в порядке возрастания.

Ответ: промежутку \(\left [\pi ;\dfrac{5\pi }{2}\right ]\) принадлежат два корня: [ ] и [ ].