Заполни пропуски

Докажи теорему: любой правильный многоугольник является одновременно вписанным в окружность и описанным около окружности, причём центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Доказательство.

На рисунке изображён правильный \(n\) -угольник \(A\_1A\_2A\_3...A\_n\) . Докажем, что в него можно вписать и вокруг него можно описать окружности.

Проведём [ ] углов \(A\_1\) и \(A\_2\) . Пусть \(O\) — точка их пересечения. Соединим точки \(O\) и \(A\_3\) . В треугольниках \(OA\_1A\_2\) и \(OA\_2A\_3\) имеем: \(\angle 2=\angle\) [ ] , \(A\_1A\_2=\) [ ] и \(OA\_2\) — [ ][ ]. Поэтому эти треугольники равны по [ ][ ] равенства треугольников. Кроме того, углы \(1\) и \(2\) равны как [ ][ ][ ]. Отсюда треугольник \(OA\_1A\_2\) — [ ], следовательно, треугольник \(OA\_2A\_3\) тоже является [ ]. Поэтому \(OA\_1=\) [ ] \(=\) [ ] .

Соединяя точку \(O\) с вершинами \(A\_4\) , \(A\_5\) , ..., \(A\_{n-1}\) , \(A\_n \) , аналогично можно показать, что \(OA\_3=\) [ ] \(=...=\) [ ] \(=\) [ ].

Таким образом, для многоугольника \(A\_1A\_2A\_3...A\_n\) существует точка, [ ] от всех его вершин. Это точка \(O\) — центр [ ] окружности.

Так как [ ] треугольники \(OA\_1A\_2\) , \(OA\_2A\_3\) , \(OA\_3A\_4\) , ..., \(OA\_{n-1}A\_n\) , \(OA\_nA\_1\) равны, то равны и их [ ], проведённые из вершины [ ]. Отсюда делаем вывод: точка \(O\) равноудалена от всех [ ] многоугольника. Следовательно, точка \(O\) — центр [ ][ ].