Заполни пропуски

Докажи, что если \(a \gt b\) и \(c \gt d\) , то \({a + c \gt b + d}\) .

Доказательство.

Неравенство \(a + c \gt b + d\) верно, если \((a + c) - (b + d)\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) . Рассмотрим эту разность:

\((a + c) - (b + d) = a + c \) [ ] \(b\) [ ] \(d = a\) [ ] \(b + c\) [ ] \(d = (a\) [ ] \(b) + (c\) [ ] \(d)\) .

Так как \(a \gt b\) , то \(a\) [ ] \(b\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) .

Так как \(c \gt d\) , то \(c\) [ ] \(d\) [ \(\gt\) | \(\lt\) ] \(0\) .

Таким образом, в выражении \({(a }\) [ ] \(b) + (c\) [ ] \(d)\) оба слагаемых положительны. Следовательно, и сама сумма положительна. Значит, \(a + c \gt b + d\) .

Так же доказываются и другие подобные неравенства со знаками \(\lt\) , \(\geq\) , \(\leq\) .