Задание

Заполните пропуски.

Делитель. Общие делители. Наибольший общий делитель.

Определение. Пусть заданы два натуральных числа a и d. Число d называется делителем числа а, когда а на d.

Рассмотрим множества А и В делителей двух чисел 12 и 18 соответственно: A = { } и B = { }.

Среди перечисленных делителей есть общие ( ), которые являются пересечением множеств А и В делителей чисел 12 и 18. Можно заметить, что общих делителей для двух или нескольких натуральных чисел всегда будет множество, поскольку конечным является множество делителей любого натурального числа.

Наименьшим общим делителем чисел всегда будет .

Определение. Наибольшим общим двух или нескольких натуральных чисел называется число, на которое делится каждое из данных чисел. Наибольший общий делитель чисел обозначается НОД(a;b). Например, НОД (12; 18) = 6.

Основные свойства наибольшего общего делителя

Теорема 1. Наибольший общий делитель чисел a и b наименьшего из этих чисел.

Теорема 2. Для любых натуральных чисел a и b существует их наибольший общий делитель и он .

Теорема 3. Когда число а на число b, то НОД (a; b) = b.