Заполни пропуски в решении задачи

Из точки \(A\) проведён перпендикуляр \(AH\) к отрезку \(BC\) , а из точки \(B\) — перпендикуляр \(BD\) к отрезку \(AC\) . Известно, что \(DС=\dfrac{2}{5}AC\) , \(BH=3 \) см и \(HC=5\) см. Найди разность площадей треугольников \(AHC\) и \(BDC\) , уменьшенную в \(\sqrt{3}\) раз.

Решение.
Рисунок

1. Так как \(AH\perp BC\) и \(BD\perp AC\) , то \(\angle HAC=\angle DBC\) как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, и так как \(\angle\) [ ] является общим для треугольников \(AHC\) и \(BDC\) , то такие треугольники [равны|подобны ].

2. Из [подобия|равенства] треугольников следует, что можно записать следующие пропорции: [ ]=[ ]=[ ].

3. По условию \(DС=\dfrac{2}{5}AC\) , тогда подставь в составленные пропорции данное выражение и заданные значения сторон и получи пропорцию:

\(\dfrac{5}{\dfrac{2}{5}AC}=\) [ ].

Вычисли \(AC\) :

\(AC=\) [ ] см.

Тогда \(DC=\) [ ] см.

4. Рассмотри треугольник \(АHC\) и найди сторону \(AH\) по теореме Пифагора:

\(AH= \sqrt{AC^2-HC^2}=\) [ ]=[ ] см .

Площадь треугольника \(АHC\) вычисляется по формуле:

\(S\_{AHC}= \dfrac{1}{2}\cdot AH\cdot HC=\) [ ] \(\sqrt{3}\) см \(^2\) .

5. Рассмотри треугольник \(BDC\) и найди сторону \(BD\) из составленной выше пропорции:

[ ]=[ ];

подставь найденные значения:[ ]=[ ]

и найди \(BD\) :

\(BD=\) [ ] \(\sqrt{3}\) .

Площадь треугольника \(BDC\) вычисляется по формуле:

\(S\_{BDC}= \dfrac{1}{2}\cdot BD\cdot DC=\) [ ] \(\sqrt{3}\) см \(^2\) .

6. Найди разность площадей треугольников \(AHC\) и \(BDC\) , уменьшенную в \(\sqrt{3}\) раз:

\(\Delta S=\) [ ] см \(^2\) .

Запиши ответ в виде десятичной дроби, если у тебя получилось дробное число.

Ответ:[ ] см \(^2\) .