Выполни задание

Заполни пропуски в доказательстве теоремы: если вектор \(\vec{a}\) имеет координаты \((a\_1;a\_2)\) , то вектор \(k\vec{a}\) имеет координаты \((ka\_1;ka\_2)\) .

Доказательство.

Если \(\vec{a}=\) _____ или \(\vec{k}=\) _____, то утверждение теоремы очевидно.

Пусть \(\vec{a}\not=\) _____ и \(\vec{k}\not=\) _____. Рассмотрим вектор \(\vec{b}(ka\_1; ka\_2)\) . Покажем, что \(\vec{b}=k\vec{a}\) .

Имеем: \(|\vec{b}|=\) _____ \(=\) _____ \(=\) _____.

Отложим от начала координат векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\) , равные соответственно векторам \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) . Так как прямая \(OA\) проходит через начало координат, то её уравнение имеет вид __________.

Этой прямой принадлежит точка \(A(a\_1;a\_2)\) . Тогда \(a\cdot a\_1+b\cdot a\_2=\) _____. Отсюда \(a(ka\_1)+b(ka\_2)=\) _____.

Следовательно, точка \(B\) \((\) _____;_____ \()\) также принадлежит прямой \(OA\) , поэтому векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\) _____, т. е. \(\vec{a}\) _____ \(\vec{b}\) .

При \(k\gt 0\) числа \(a\_1\) и \(ka\_1\) имеют _____ знаки (или оба равны _____). Таким же свойством обладают числа \(a\_2\) и \(ka\_2\) . Следовательно, при \(k\gt 0\) точки \(A\) и \(B\) лежат в одной _____ (или на одном _____), поэтому векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\) сонаправлены, т. е. \(\vec{a}\) _____ \(\vec{b}\) . При \(k\lt 0\) векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\) будут _____, т. е. \(\vec{a}\) _____ \(\vec{b}\) .

Итак, мы получили, что \(\vec{b}=\) _____.