Заполни пропуски в решении
Задача.
Дана четырёхугольная пирамида \(SABCD\) , с прямоугольником \(ABCD\) в основании, и сторонами \(AB=3, SA=4, SD=21, SB=5, BC=5\sqrt{17}.\)
Докажи, что \(SA\) является высотой пирамиды.
Найди расстояние от вершины \(А\) до плоскости \(SBC\) .
Решение.
Заметим, что \(SB^2=SA^2+AB^2\) , \(SD^2=SA^2+AD^2\) , поэтому по [обратной|прямой] теореме Пифагора треугольники \(SAB\) и \(SAD\) - прямоугольные. Следовательно, \(SA\) [не перпендикулярна |перпендикулярна ] \(AB\) , и \(SA\) [не перпендикулярна |перпендикулярна ] \(AD\) , значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости \(SA\) [не перпендикулярна |перпендикулярна ] \(ABC\) .
Введем систему координат следующим образом: точка \(А\) будет иметь координаты \((0;0;0)\) , вектор \(х\) будет сонаправлен с прямой \(AB\) , вектор \(у\) будет сонаправлен с прямой \(AD\) , вектор \(z\) будет сонаправлен с прямой \(AS\) , получим координаты точек:
\(S\) [ \((0;4;0)\) | \((0;0;4)\) | \((4;0;0)\) ];
\(B\) [ \((0;3;0)\) | \((3;0;0)\) | \((0;0;3)\) ];
\(C\) [ \((0;5\sqrt{17};3)\) | \((3;5\sqrt{17};0)\) | \((3;0;5\sqrt{17})\) ].
Зададим уравнение плоскости \(SBC\) :
| \(x\) | \(y\) | \(z-4\) | \(x\) | \(y\) |
| \(3\) | \(0\) | \(-4\) | \(3\) | \(0\) |
| \(3\) | \(5\sqrt{17}\) | \(-4\) | \(3\) | \(5\sqrt{17}\) |
Запишем уравнение плоскости: \(15\sqrt{17}(z-4)+20\sqrt{17}x=0\)
Найдем расстояние от точки \(А\) до плоскости \(SBC\) :
\(r=\frac{|0\*20\sqrt{17}+0\*0+0\*15\sqrt{17}-4\*15\sqrt{17}|}{\sqrt{(20\sqrt{17})^2+0^2+(15\sqrt{17})^2}}=\dfrac{4\*15\*\sqrt{17}}{5\*\sqrt{17}\*5}=\) [ ]
Ответ:[ ]