Выполни задание и заполни пропуски

Реши графически уравнение: \(\Big(\dfrac{2}{8}\Big)^x=x-\dfrac{3}{4}\) .

Решение.

В одной системе координат построим графики функций: \(y=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^x\) и \(y=x-\dfrac{3}{4}\) .

рис

Графики данных функций пересекаются в одной точке, абсцисса которой \(x\approx1\) .

Проверим, является ли \(x=\) [ ]коренем данного уравнения:

\(\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^1=1-\dfrac{3}{4} \iff \dfrac{1}{4}=\) [ ],

значит \(x = \) [ ] — корень данного уравнения.

Покажем, что других корней нет.

Функция \(y=\Big(\dfrac{1}{4}\Big)^x\) [убывающая|возрастающая], а функция \(y=x-\dfrac{3}{4}\) [убывающая|возрастающая].

Геометрически это означает, что графики этих функций при \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(1\) , и при \(x\) [ \(\lt\) | \(\gt\) | \(=\) ] \(1\) , «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при \(x\ne1\) .

Значит, \(x = \) [ ] — единственный корень уравнения.

Ответ: [ ].

Заметим, что из решения этой задачи следует, что неравенство \(\Big(\dfrac{2}{8}\Big)^x\gt x-\dfrac{3}{4}\) выполняется при \(x\) [ \(\lt\) | \(\gt\) | \(=\) ] \(1\) , а неравенство \(\Big(\dfrac{2}{8}\Big)^x\lt x-\dfrac{3}{4}\) выполняется при \(x\) [ \(\gt\) | \(\lt\) | \(=\) ] \(1\) .