Заполни пропуски

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении \(2:1\) , считая от вершины треугольника.

Доказательство.

Докажем сначала, что любые две медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении \(2:1\) , считая от вершины. Пусть \(BM\) и \(CN\) — медианы треугольника \(ABC\) пересекаются в точке \(O\) . Отметим середины \(P\) и \(Q\) отрезков \(BO\) и \(CO\) . Отрезок [ ] — средняя линия треугольника [ ], а отрезок [ ] — средняя линия треугольника \(ABC\) , поэтому \(PQ\parallel BC\parallel MN\) и \(PQ=\dfrac{1}{2}BC=MN\) . Противоположные стороны \(PQ\) и \(MN\) четырёхугольника \(MNPQ\) равны и параллельны, значит, \(MNPQ\) — параллелограмм. Его диагонали \(MP\) и \(QN\) делятся пополам точкой их пересечения \(O\) , следовательно, \(MO=OP=\) [ ] и \(NO=OQ=\) [ ]. Следовательно, \(BO:OM=CO:ON=2:1\) .

Мы доказали, что любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении \({2:1}\) , считая от вершины треугольника. Значит, медиана, проведённая из вершины \(A\) , должна разделить каждую из медиан \(BM\) и \(CN\) в таком отношении, а значит, должна пройти через точку \(O\) .