Заполни пропуски

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство.

Продолжим сторону \(AC\) треугольника \(ABC\) за точку \(A\) . Проведём через точку \(B\) прямую, параллельную биссектрисе \(AD\) . Построенные прямые пересеклись в некоторой точке \(E\) (рисунок).

Докажем, что отрезки \(AB\) и \(AE\) равны. Для этого заметим, что угол \(EBA\) равен углу [ ], поскольку эти углы являются [накрест лежащими|односторонними|соответственными] при параллельных прямых \(EB\) и \(AD\) . Заметим, что угол \(BEA\) равен углу [ ], поскольку эти углы являются соответственными при параллельных прямых \(EB\) и \(AD\) . Следовательно, угол \(EBA\) равен углу [ ]. Видно, что треугольник \(EAB\) является равнобедренным и отрезки \(AB\) и [ ] равны.

Отсюда, по теореме Фалеса, получается, что:

\(\dfrac{EA}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\iff \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{DC}\) .