Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Точка D не принадлежит плоскости треугольника ABC и равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки D на плоскость треугольника является точка O. Необходимо доказать, что точка O является центром вписанной окружности данного треугольника.

Доказательство:

OM OK DM\perp AB DM=DN=DK OM=ON=OK

Выполни дополнительные построения из точки O: перпендикуляры OM,ON,OK соответственно на прямые AB,AC,BC и соедини точку D с M,N,K. Тогда отрезок является проекцией наклонной DM и по теореме о трёх перпендикулярах. Докажи самостоятельно, что DN \perp AC,DK \perp BC.

Следовательно, DM,DN,DK — расстояния до отрезков AB,AC,BC соответственно. По условию.

Рассмотри прямоугольные треугольники DOM,DON,DOK. Докажи, что они равны. Из этого равенства следует. Итак, точка O принадлежит плоскости треугольника и расстояние от неё до всех сторон равны. Следовательно, точка O является центром вписанной окружности.