Реши неравенства

\(\sqrt{x-2}\lt 8-x\) . \((6)\)

\(\text{I}\) способ

Введя новое неизвестное \(t=\sqrt{x-2}\) , где \(t\geqslant 0\) \((\) тогда \(t^2=x-2\) , \(x=t^2+2\) , \(8-x=6-t^2\) ), перепишем неравенство \((6)\) в виде:

\(t\lt 6-t\_2\) . \((7)\)

Решив неравенство \((7)\) , получим все его решения: \(–3\lt t\lt 2\) . Учитывая условие \(t\geqslant 0\) , имеем: \(0\leqslant t\lt 2\) . Следовательно, все решения неравенства \((6)\) есть решения двойного неравенства

\(0\leqslant \sqrt{x-2}\lt 2\) . \((8)\)

Так как функция \(y=x\) , \(x\geqslant 0\) возрастает, то неравенство \((8)\) равносильно двойному неравенству \(0\leqslant x-2\lt 4\) , т. е. неравенству \(2\leqslant x\lt 6\) . Все эти числа являются решениями неравенства \((6)\) .

\(\text{II}\) способ

Построим графики функций \(f(x)=\sqrt{x-2}\) и \(g(x)=8-x\) .

График функции \(y=f(x)\) получим переносом вправо графика функции \(y=x\) . График функции \(y=g(x)\) — прямая, проходящая через точки \((4;4)\) и \((8;0)\) . Так как графики функций имеют единственную общую точку с абсциссой \(6\) , то уравнение \(f(x)=g(x)\) имеет единственный корень \(x\_1=6\) .

Все решения неравенства \((6)\) есть все \(x\) , для которых точки графика функции \(f (x)\) лежат ниже соответствующих точек графика функции \(g(x)\) . Все решения неравенства \((6)\) составляют промежуток \([2;6)\) .

Ответ: \(x\in [2; 6)\) .

\(\space\)

а) \(\sqrt{x-1}\lt 7-x\) ;

б) \(\sqrt{4-x}\lt 2+2x\) ;

в) \(\sqrt{x-3}\gt 9-x\) ;

г) \(\sqrt{5-x}\gt 1+x\) ;

д) \(\sqrt{x+7}\geqslant x+5\) ;

е) \(\sqrt{80-16x}\geqslant 8-x\) .

Запиши в ответе числовые промежутки.

Ответ: а) [ ];б) [ ];в) [ ];г) [ ];д) [ ];е) [ ].