Разбери решение задачи

Найди все значения параметра \(a\) , при каждом из которых для всех значений \(x\in[-20;0]\) выполняется неравенство:

\(|2a+|x+3a||+|4x-a+9|+10x-15\leqslant 0\) .

Решение.

Рассмотрим функцию \(f(x)=|2a+|x+3a||+|4x-a+9|+10x-15\) . График этой функции состоит из "кусков" прямых, которые получаются при раскрытии знаков модуля. На каждом промежутке рассмотрения модуля получается часть некоторой прямой \(y=kx+b\) . Коэффициент \(k=5\) , если все модули раскрыть со знаком "минус", а если все модули раскрыть со знаком "плюс", то \(k=15\) . Итак, \(5\leqslant k\leqslant 15\) , то есть всегда положительно! Значит, функция \(f(x)\) монотонно возрастает для любого \(x\) .

Если неравенство \(f(x)\leqslant 0\) будет выполнено в точке \(x=0\) (то есть \(f(0)\leqslant 0\) ), то из-за того, что \(f(x)\) монотонно возрастающая функция, неравенство \(f(x)\leqslant 0\) будет выполнено для всех \(x\leqslant 0\) в том числе и для всех \(x\in [-20;0]\) .

Подставим \(x=0\) :

\(f(0)=|2a+|3a||+|9-a|-15\)

Решим неравенство \(|2a+|3a||+|9-a|-15\leqslant 0\) .

Если \(a\leqslant 0\) , то \(|9-a|=9-a\) , \(|2a+|3a||=|2a-3a|=|-a|=|a|=-a\) .

Получаем неравенство \((-2a-6)\leqslant 0\) , решениями которого с учётом того, что \(a\leqslant 0\) , являются \(a\in [-3;0]\) .

Если \(0\lt a\leqslant 9\) , то \(|9-a|=9-a\) , \(|2a+|3a||=|2a+3a|=5a\) .

Получаем неравенство \(4a-6\leqslant 0\) , решениями которого с учётом того, что \(0\lt a\leqslant 9\) , являются \(a\in\) [ ].

Если \(a\gt 9\) , то \(|9-a|=-9+a\) , \(|2a+|3a||=|2a+3a|=5a\) .

Получаем неравенство \(6a-24\leqslant 0\) , которое равносильно неравенству \(a\leqslant 4\) , с учётом того, что \(a\gt 9\) , делаем вывод, что [ \(a\in [4;9)\) |решений нет| \(a\in (9;+\infty)\) ].

Осталось объединить полученные промежутки и записать ответ.

Запиши ответ с помощью промежутков и знаков объединения.

Ответ: \(a\in\) [ ].