Задание

Рассмотри пример решения уравнения и заполни пропуски.

Для решения иррациональных уравнений данным методом следует пользоваться правилом: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей, входящих в это произведение, равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Уравнение \sqrt{f(x)}*g(x) = 0 раносильно совокупности двух систем:

1) \begin{cases} f(x) = 0, \\ g(x) - \text{определена}; \end{cases} 2) \begin{cases} g(x) = 0, \\ f(x)\geqslant 0. \end{cases}

Пример.

Реши уравнение:

\sqrt{x-3}\cdot x^2=4\sqrt{x-3}.

Решение:

\sqrt{x-3}\cdot x^2=4\sqrt{x-3};

Перенесём обе части уравнения в левую сторону:

\sqrt{x-3}\cdot x^2-4\sqrt{x-3} = 0;

Вынесем общий множитель: за скобку:

(x^2-4) = 0;

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) \begin{cases} x-3 = 0, \\ x\in R; \end{cases} или 2) \begin{cases} x^2-4 = 0, \\ x-3 \geqslant 0. \end{cases}

Решим отдельно каждую систему:

1) \begin{cases} x-3 = 0, \\ x\in R; \end{cases}

x= .

2) \begin{cases} x^2-4 = 0, \\ x-3 \geqslant 0; \end{cases}

\begin{cases} x1 = 2, x2=-2 \\ x \geqslant 3 ; \end{cases} - система не имеет решений

Ответ:x= .