Прочитай и заполни пропуски

Пусть дана сфера радиуса \(R\) и плоскость \(\alpha\) , которая находится на расстоянии \(d\) от центра сферы. Введем систему координат в пространстве и будем считать, что плоскость \(\alpha\) совпадает с плоскостью \(Oxy\) ( \(z=0\) ). Считаем, что центр сферы лежит на оси \(Oz\) . Тогда раз расстояние до плоскости равно \(d\) , то координаты центра сферы будут \((0;0;d)\) .

Соответственно, уравнение сферы выглядит так: \(R^2=(x-\) [ ]) \(^2+(y-\) [ ]) \(^2+(z-\) [ ]) \(^2\)

Если пересечь сферу плоскостью, то координаты всех точек, принадлежащих одновременно обеим фигурам, удовлетворяют системе:

\(\begin{cases} R^2=x^2+y^2+(z-d)^2 \\ z=0. \end{cases}\)

Подставив \(z\) , равное \(0\) , в первое уравнение, имеем: \( R^2-d^2=x^2+y^2\) .

Так как выражение \(R^2-d^2\) может принимать не только положительные значения, но также и отрицательные, рассмотрим три случая:

Плоскость пересекает сферу в двух точках [ \(R \gt d \) | \(R \lt d\) | \(R= d\) ].

Плоскость касается сферы:[ \(R \gt d \) | \(R \lt d\) | \(R= d\) ].

Плоскость не пересекает сферу[ \(R \gt d \) | \(R \lt d\) | \(R= d\) ].