Прочитай Докажи теорему: площадь треугольника равна произведению его полупериметра и радиуса вписанной окружности. Доказательство. На рисунке изображён треугольник ABC, в который вписана окружность радиуса r. Докажем, что S = pr, где S — площадь данного треугольника, p — его . Пусть точка O — центр окружности, которая касается сторон треугольника ABC в точках M, N и P. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AOB, , . Это удобно записать в такой форме: S = S_{AOB} + . Проведём радиусы в точки касания. Получаем: OM \perp , ON \perp , OP \perp . Отсюда: S_{AOB} = \dfrac{1}{2}OM \cdot AB = \dfrac{1}{2}r \cdot ; S_{BOC} = \dfrac{1}{2}ON \cdot = \dfrac{1}{2}r \cdot ; S_{COA } = \dfrac{1}{2}OP \cdot = \dfrac{1}{2}r \cdot AC. Следовательно, S = \dfrac{1}{2}r \cdot +\dfrac{1}{2}r \cdot +\dfrac{1}{2}r \cdot = r \cdot \dfrac{1}{2} \cdot ( ) \ = .

Задание

Прочитай

Докажитеорему: площадьтреугольникаравнапроизведениюегополупериметраирадиусавписаннойокружности.

Доказательство.

Нарисункеизображёнтреугольник \(ABC\) , вкоторыйвписанаокружностьрадиуса \(r\) .Докажем, что \(S=pr\) , где \(S\) — площадьданноготреугольника, \(p\) — его[ ].

Пустьточка \(O\) — центрокружности, котораякасаетсясторонтреугольника \(ABC\) вточках \(M\) , \(N\) и \(P\) .Площадьтреугольника \(ABC\) равнасуммеплощадейтреугольников \(AOB\) , [ ], [ ].Этоудобнозаписатьвтакойформе: \(S=S\_{AOB}+\) [ ].

Проведёмрадиусывточкикасания.Получаем: \(OM\perp\) [ ], \(ON\perp\) [ ], \(OP\perp\) [ ].Отсюда:

\(S\_{AOB}=\dfrac{1}{2}OM\cdotAB=\dfrac{1}{2}r\cdot\) [ ];

\(S\_{BOC}=\dfrac{1}{2}ON\cdot\) [ ] \(=\dfrac{1}{2}r\cdot\) [ ];

\(S\_{COA}=\dfrac{1}{2}OP\cdot\) [ ] \(=\dfrac{1}{2}r\cdotAC\) .

Следовательно, \(S=\dfrac{1}{2}r\cdot\) [ ] \(+\dfrac{1}{2}r\cdot\) [ ] \(+\dfrac{1}{2}r\cdot\) [ ] \(=r\cdot\dfrac{1}{2}\cdot(\) [ ] \()\=\) [ ].

Похожие

Тот же тест