Задание

Ознакомься с примером

Решим уравнение

\cos^2 \pi x + 4 \sin \pi x + 4 = 0. (1)

Решение.

Применяя основное тригонометрическое тождество, перепишем уравнение (1) в виде

\sin^2 \pi x - 4 \sin \pi x - 5 = 0. (2)

Уравнение (2) квадратное относительно \sin \pi x. Обозначив t = \sin \pi x, перепишем его в виде

t^2 - 4t - 5 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет два корня t_1 = -1 и t_2 = 5, следовательно, множество решений уравнения (1) есть объединение множеств решений двух уравнений:

1) \sin \pi x = -1 и 2) \sin \pi x = 5.

Все решения уравнения 1) составляют единственную серию

\pi x_n=-\cfrac{\pi}{2}+2\pi n, x_n = -\cfrac{1}{2}+2n, n \in \Z,

а уравнение 2) не имеет решений, так как 5 \gt 1, а \sin \pi x \leqslant 1 для любого x.

Следовательно, уравнение (1) имеет единственную серию решений x_n = -\cfrac{1}{2}+2n, n \in\Z.

Ответ: -\dfrac{1}{2}+2\pi n, n \in \Z.