Задание

Реши неравенство

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Решим неравенство

(3-2\sqrt{2})^{2x}-6\cdot \left(\dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}\right)^x+1\lt 0. (9)

Решение.

Так как \dfrac{1}{3+2\sqrt{2}}=3-2\sqrt{2}, то, обозначив t=(3-2\sqrt{2})^x, перепишем неравенство (9) в виде t^2-6t+1\lt 0. (10)

Множество всех решений неравенства (10) есть все t, такие, что 3-2\sqrt{2}\lt t\lt 3+2\sqrt{2}, следовательно, все решения неравенства (9) совпадают с решениями двойного неравенства 3-2\sqrt{2}\lt (3-2\sqrt{2}^x\lt 3+2\sqrt{2}. (11)

Так как 3+2\sqrt{2}=\dfrac{1}{3-2\sqrt{2}} и 0\lt 3-2\sqrt{2}\lt 1, то неравенство (11) равносильно двойному неравенству -1\lt x\lt 1. Это означает, что множество решений неравенства (9) есть интервал (-1;1).

Ответ: (-1;1).