Задание

Ознакомься с примером решения

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Реши уравнение {\dfrac{\sin^2 7x}{\sin^2 x}\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=16\cos 4x(1+2\cos 4x)+\dfrac{\cos^2 7x}{\cos^2 x}}.

Решение.

Выполним следующие преобразования:

{\cfrac{\sin^2 7x}{\sin^2 x}-\cfrac{\cos^2 7x}{\cos^2 x}\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=\frac{(\sin 7x\cos x+\cos 7x\sin x)(\sin 7x\cos x-\cos 7x\sin x)}{\sin^2 x\cos^2 x}\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=\cfrac{4\sin 8x\sin 6x}{\sin^2 2x}\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=\cfrac{16\cos 4x\sin 2x\cos 2x\sin 6x}{\sin^2 2x}}.

{\cos 2x\sin 6x=\dfrac{1}{2}(\sin 8x+\sin 4x)\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=\dfrac{1}{2}(2\sin 4x\cos 4x+\sin 4x)\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=\sin 2x\cos 2x(1+2\cos 4x)}.

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению

{\cos 4x(1+2\cos 4x)\cos 2x\mathrlap{\,=}} {=\cos 4x(1+2\cos 4x)}

при условии \sin 2x\ne 0, а последнее уравнение равносильно (при этом же условии) совокупности уравнений \cos 4x=0, \cos 4x=-\dfrac{1}{2}, \cos 2x=1.

Из первого уравнения находим {x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{4}}, n\in \Z, из второго {x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{2}}, n\in \Z, а корни третьего уравнения не удовлетворяют условию \sin 2x\ne 0 (если \cos 2x=1, то {\sin 2x=0}).

Ответ: x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{4}, x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{2}, n\in \Z.