Задание

Ознакомься с примером решения

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Реши уравнение {\sqrt{\dfrac{7}{2}-3\sin^2 x}=\sin x+\cos x}.

Решение.

Исходное уравнение равносильно системе

\begin{cases} \dfrac{7}{2}-3\sin^2 x=(\sin x+\cos x)^2, \\ \sin x+\cos x\geqslant 0. \end{cases}

Уравнение этой системы сводится к однородному {\dfrac{1}{2}\sin^2 x+2\sin x\cos x-\dfrac{5}{2}\cos^2 x\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=0}, откуда \tg^2 x+4\tg x-5=0, \tg x=1, \tg x=-5.

Если \tg x=1, то {x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k}, k\in \Z, а если \tg x=-5, то {x=-\arctg 5+\pi k}, k\in \Z.

Неравенству системы первая серия корней (корни уравнения \tg x=1) удовлетворяет при чётных k (т. е. при k=2n), а вторая — при нечётных k (т. е. при k=2n+1).

Ответ: x=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n, {x=\pi-\arctg 5+2\pi n}, n\in \Z.