Задание

Ознакомься с примером решения

После прочтения текста переходи к следующему заданию. Вводить ответ здесь не требуется.

Реши уравнение {\dfrac{\cos 3x}{\cos x}(1-\sin^2 x\cos 2x-2\sin^2 x)\raisebox{-1em}{$\,$}\mathrlap{\,=}} {=1}.

Решение.

Так как 1-2\sin^2 x=\cos 2x и \cos x\ne 0, то уравнение равносильно каждому из уравнений:

\dfrac{\cos 3x}{\cos x}(\cos 2x-\sin^2 x\cos 2x)=1,

\frac{\cos 3x\cos 2x\cos^2 x}{\cos x}=1,

\cos x\cos 2x\cos 3x=1.

Полученное уравнение может иметь решение только в том случае, когда {|\cos x|=|\cos 2x|=|\cos 3x|=1}:

а) если \cos x=1, то x=2\pi n, n\in \Z, и тогда \cos 2x=\cos 3x=1;

б) если \cos x=-1, то x=\pi+2\pi n, n\in \Z, и тогда \cos 2x=1, \cos 3x=-1.

Таким образом, исходное уравнение равносильно уравнению |\cos x|=1, или \cos^2 x=1, или \sin x=0.

Ответ: x=\pi n, n\in \Z.