Основанонаупр.9, стр.33
Заполнипропускиврешении

Решисистемууравнений \(\begin{cases}2xy^2+8zx^2-4yz^2=6xyz, \\8xz^2-4yx^2+2zy^2=6xyz, \\2xy-4xz+2yz=3. \end{cases}\)

Решение.

Вычитаяизпервогоуравнениявторое, получаем

\(xy^2+4x^2z-2yz^2-4xz^2+2x^2y-2y^2z=0\) .

Разложимнамножителилевуючастьуравнения:

\(y^2(x-z)+4xz(x-z)+2y(x^2-z^2)=0\) ,

\((x-z)(y(y+2z)+2x(y+2z))=0\) ,

\((x-z)(y+2z)(y+2x)=0\) . \(\space(1)\)

Заметим, чтоисходнаясистема, равносильнаясистеме, состоящейизеёпервогоитретьегоуравненийиуравнения \((1)\) , равносильнатакжесовокупноститрёхсистем, получаемыхприсоединениемкпервомуитретьемууравнениямсоответственноуравнений

\(x=z\) , \(\space(2)\)

\(y=-2z\) , \(\space(3)\)

\(y=-2x\) . \(\space(4)\)

1)Подставляяизуравнения \((2)\spacex=z\) впервоеитретьеуравненияисходнойсистемы, получаем

\(x(y^2-5xy+4x^2)=x(y-x)(y-4x)=0\) ,

\(4xy-4x^2=4x(y-x)=3\) . \(\space(5)\)

Если \(x=0\) или \(у=x\) , тоиз \((5)\) следует, что \(0=3\) .Если \(y=4x\) , тоиз \((5)\) находим \(x^2=\dfrac14, x=\pm\dfrac12\) .

Вэтомслучаесистемаимеетдварешения:

\((\dfrac12\) ; [ ]; \(\dfrac12)\) и \((-\dfrac12\) ; [ ]; \(-\dfrac12)\) .

2)Подставляя \(y=-2z\) (см.( \(3\) ))впервоеитретьеуравненияисходнойсистемы, получаем \(z(2z^2+5xz+2x^2)=z(z+2x)(x+2z)=0\) ,

\(-4z(z+2x)=3\) . \(\space(6)\)

Если \(z=0\) или \(z+2x=0\) , тоизуравнения \((6)\) следует, что \(0=3\) .Если \(x=-2z\) , тоизуравнения \((6)\) находим \(z^2=\dfrac14 , z=\pm\dfrac12\) .

Вэтомслучаесистемаимеетрешения:

([ ]; [ ]; \(\dfrac12\) )и([ ]; [ ]; \(-\dfrac12\) ).

3)Подставляя \(у=-2х\) (см.( \(4\) ))впервоеитретьеуравненияисходнойсистемы, получаем \(x(2x^2+5xz+2z^2)=x(x+2z)(z+2x)=0\) ,

\(-4x(x+2z)=3\) . \(\space(7)\)

Если \(x=0\) или \(x+2z=0\) , тоизуравнения \((7)\) следует, что \(0=3\) .Если \(z= - 2х\) , тоизуравнения \((7)\) находим \(x^2=\dfrac14, x=\pm\dfrac12\) .

Вэтомслучаесистемаимеетдварешения:

( \(\dfrac12\) ; [ ]; [ ])и( \(-\dfrac12\) ; [ ]; [ ]).