Основано на упр. 9, стр. 33 Реши систему уравнений \begin{cases} 2xy^2+8zx^2-4yz^2=6xyz, \\ 8xz^2-4yx^2+2zy^2=6xyz, \\ 2xy-4xz+2yz=3. \end{cases} Решение. Вычитая из первого уравнения второе, получаем xy^2+4x^2z-2yz^2-4xz^2+2x^2y-2y^2z=0 . Разложим на множители левую часть уравнения: y^2(x-z)+4xz(x-z)+2y(x^2-z^2)=0 , (x-z)(y(y+2z) + 2x(y+2z))=0 , (x-z)(y+2z)(y+2x)=0 . \space (1) Заметим, что исходная система, равносильная системе, состоящей из её первого и третьего уравнений и уравнения (1), равносильна также совокупности трёх систем, получаемых присоединением к первому и третьему уравнениям соответственно уравнений x=z, \space (2) y=-2z, \space (3) y=-2x. \space (4) 1) Подставляя из уравнения (2) \space x=z в первое и третье уравнения исходной системы, получаем x(y^2-5xy+4x^2)=x(y-x)(y-4x)=0, 4xy-4x^2=4x(y-x)=3. \space (5) Если x=0 или у=x, то из (5) следует, что 0=3. Если y=4x, то из (5) находим x^2=\dfrac 1 4, x =\pm \dfrac 1 2. В этом случае система имеет два решения: (\dfrac 1 2; ; \dfrac 1 2) и (-\dfrac 1 2; ; -\dfrac 1 2). 2) Подставляя y=-2z (см. (3)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем z(2z^2+5xz+2x^2)=z(z+2x)(x+2z)=0 , -4z(z+2x)=3 . \space (6) Если z = 0 или z+2x=0, то из уравнения (6) следует, что 0=3. Если x=-2z, то из уравнения (6) находим z^2=\dfrac 1 4 , z=\pm \dfrac 1 2. В этом случае система имеет решения: ( ; ; \dfrac 1 2) и ( ; ; -\dfrac 1 2). 3) Подставляя у=-2х (см. (4)) в первое и третье уравнения исходной системы, получаем x(2x^2+5xz+2z^2)=x(x+2z)(z+2x)=0 , -4x(x+2z)=3 . \space (7) Если x = 0 или x + 2z = 0, то из уравнения (7) следует, что 0=3. Если z = - 2х, то из уравнения (7) находим x^2=\dfrac 1 4, x=\pm \dfrac 1 2 . В этом случае система имеет два решения: ( \dfrac 1 2 ; ; ) и ( -\dfrac 1 2 ; ; ).
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Основанонаупр.9, стр.33
Заполнипропускиврешении

Решисистемууравнений \(\begin{cases}2xy^2+8zx^2-4yz^2=6xyz, \\8xz^2-4yx^2+2zy^2=6xyz, \\2xy-4xz+2yz=3. \end{cases}\)

Решение.

Вычитаяизпервогоуравнениявторое, получаем

\(xy^2+4x^2z-2yz^2-4xz^2+2x^2y-2y^2z=0\) .

Разложимнамножителилевуючастьуравнения:

\(y^2(x-z)+4xz(x-z)+2y(x^2-z^2)=0\) ,

\((x-z)(y(y+2z)+2x(y+2z))=0\) ,

\((x-z)(y+2z)(y+2x)=0\) . \(\space(1)\)

Заметим, чтоисходнаясистема, равносильнаясистеме, состоящейизеёпервогоитретьегоуравненийиуравнения \((1)\) , равносильнатакжесовокупноститрёхсистем, получаемыхприсоединениемкпервомуитретьемууравнениямсоответственноуравнений

\(x=z\) , \(\space(2)\)

\(y=-2z\) , \(\space(3)\)

\(y=-2x\) . \(\space(4)\)

1)Подставляяизуравнения \((2)\spacex=z\) впервоеитретьеуравненияисходнойсистемы, получаем

\(x(y^2-5xy+4x^2)=x(y-x)(y-4x)=0\) ,

\(4xy-4x^2=4x(y-x)=3\) . \(\space(5)\)

Если \(x=0\) или \(у=x\) , тоиз \((5)\) следует, что \(0=3\) .Если \(y=4x\) , тоиз \((5)\) находим \(x^2=\dfrac14, x=\pm\dfrac12\) .

Вэтомслучаесистемаимеетдварешения:

\((\dfrac12\) ; [ ]; \(\dfrac12)\) и \((-\dfrac12\) ; [ ]; \(-\dfrac12)\) .

2)Подставляя \(y=-2z\) (см.( \(3\) ))впервоеитретьеуравненияисходнойсистемы, получаем \(z(2z^2+5xz+2x^2)=z(z+2x)(x+2z)=0\) ,

\(-4z(z+2x)=3\) . \(\space(6)\)

Если \(z=0\) или \(z+2x=0\) , тоизуравнения \((6)\) следует, что \(0=3\) .Если \(x=-2z\) , тоизуравнения \((6)\) находим \(z^2=\dfrac14 , z=\pm\dfrac12\) .

Вэтомслучаесистемаимеетрешения:

([ ]; [ ]; \(\dfrac12\) )и([ ]; [ ]; \(-\dfrac12\) ).

3)Подставляя \(у=-2х\) (см.( \(4\) ))впервоеитретьеуравненияисходнойсистемы, получаем \(x(2x^2+5xz+2z^2)=x(x+2z)(z+2x)=0\) ,

\(-4x(x+2z)=3\) . \(\space(7)\)

Если \(x=0\) или \(x+2z=0\) , тоизуравнения \((7)\) следует, что \(0=3\) .Если \(z= - 2х\) , тоизуравнения \((7)\) находим \(x^2=\dfrac14, x=\pm\dfrac12\) .

Вэтомслучаесистемаимеетдварешения:

( \(\dfrac12\) ; [ ]; [ ])и( \(-\dfrac12\) ; [ ]; [ ]).

Тот же тест