Задание

Основано на упр. 6, стр. 31

Заполни пропуски в решении

Реши систему уравнений \begin{cases} (2x -y)^2 = 4+z^2, \\ (z-y)^2= 2+4x^2, \\ (z+2x)^2=3+y^2. \end{cases}

Решение.

Обозначим 2x = u, -y = \upsilon и запишем исходную систему в следующем виде:

\begin{cases} u + \upsilon -z = \dfrac{4}{u+\upsilon+z}, \\ \upsilon + z-u = \dfrac{2}{u+\upsilon+z}, \\ z + u-\upsilon =\dfrac{3}{u+\upsilon+z}. \end{cases}

\begin{cases} u+\upsilon-z = \dfrac{4}{u+\upsilon+z}, \\ \upsilon+z - u = \drac{2}{u+\upsilon+z}, \\ z+u-\upsilon = \dfrac{3}{u+\upsilon+z}. \end{cases}

Сложив уравнения этой системы и обозначив u+\upsilon+z=t, получим уравнение t=\dfrac{9}{t}, откуда t_1= , t_2= .

Подставив найденные значения суммы u+\upsilon+z в эту систему, найдём искомые значения u,\upsilon, z.

Если t = u+\upsilon+z = 3, то

z = \dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{4}{t}\right)=\dfrac {5} {6},

u = \dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{2}{t}\right)=\dfrac {7} {6},

\upsilon = \dfrac{1}{2}\left(t-\dfrac{3}{t}\right)= ,

x = \dfrac{u}{2} = \cfrac{7}{12},

y = -\upsilon = -1.

Аналогично, если t = -3, то x = -\dfrac{7}{12}, y =1, z = -\dfrac{5}{6}.

Ответ: \left(\dfrac{7}{12}; -1; \cfrac{5}{6}\right), \left(-\dfrac{7}{12}; 1; -\dfrac{5}{6}\right).