Основано на упр. 5 стр. 21

Заполни пропуски в решении

Реши уравнение \(2x^{4}-2x^{3}-11x^{2}+4x+8=0\) .

Решение. Данное уравнение является возвратным: отношение крайних коэффициентов равно [ ] (так как \(8:2 = 4\) ), а отношение коэффициентов членов, равноудалённых от крайних членов, равно [ ] (так как \(4: (-2) =-2\) ), т. е. первое отношение является квадратом второго. Так как \(х = 0 \) не является корнем уравнения, то, разделив это уравнение на \(x^{2}\) , получим

\(2x^{2}-2x-11+\dfrac{4}{x} + \dfrac{8}{x^{2}} = 0 \) ,

\(2\left(x^{2}+\dfrac{4}{x^{2}}\right) - 2 \left(x-\dfrac{2}{x}\right) - 11 = \) [ ].

Пусть \(x- \dfrac{2}{x} = t\) , тогда \(x^{2} + \dfrac{4}{x^{2}} = t^{2}+4\) . Исходное уравнение запишем в виде \(2(t^{2}+4)-2t-11=0\) , \(2t^{2}-2t-3=0\) , откуда \(t\_{1,2} = \dfrac{1\pm \sqrt{7}}{2}\) .

Следовательно, уравнение равносильно совокупности уравнений \(x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{1+\sqrt{7}}{2}\) , \(x - \dfrac{2}{x} = \dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\) .

Корни первого уравнения равны \(x\_{1,2} = \dfrac{1+\sqrt{7}\pm \sqrt{40+2\sqrt{7}}}{4}\) , а корни второго равны \(\dfrac{1+\sqrt{7}\pm \sqrt{40-2\sqrt{7}}}{4}\) .

Ответ: \(x\_{1,2} = \dfrac{1+\sqrt{7}\pm \sqrt{40+2\sqrt{7}}}{4}\) , \(x\_{3,4} =\dfrac{1+\sqrt{7}\pm \sqrt{40-2\sqrt{7}}}{4}\) .