Основано на упр. 2 стр. 35.
Перетащи ответы в правильные места
- \(x\not = \dfrac{\pi}{2}+\pi n\)
- \(\Bigg(1+\dfrac{2\tg \dfrac{x}{2}}{1+\tg^2 \dfrac{x}{2}}\Bigg)\)
- \(\Bigg(\dfrac{1+\tg^2 \dfrac{x}{2}}{(1+\tg \dfrac{x}{2})^2}\Bigg)\)
- \(\dfrac{\tg \dfrac{x}{2}}{1+\tg \dfrac{x}{2}}\)
Найди производную функции:
- \(y=3^{\tg^2x},\ x\not = \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n \in \Z\) ;
- \(y=\ln\sqrt{\dfrac{e^x}{1+\sin\ x}}, x\not = -\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n \in \Z\) .
Решение. 1) Применим дважды правило дифференцирования сложной функции, получим \(y'=3^{\tg^2x}\ln 3 \cdot (\tg^2\ x)'=3^{\tg^2x}\ln 3 \cdot 2\tg\ x (\tg\ x)'\) . Следовательно, производная имеет вид
\(y'=2\ \ln\ 3\cdot 3^{\tg^2x} \dfrac{\tg\ x}{\cos^2\ x},\) [ ], \(n \in \Z\) .
- С помощью свойств логарифмов упростим формулу, которой задана функция, получим
\(y=\dfrac{1}{2}\ln\ e^x-\dfrac{1}{2}\ln(1+\sin\ x)\) , \(y=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}\ln(1+\sin\ x)\) .
Найдём производную с помощью правил нахождения производной и формул производных элементарных функций:
\(y'=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(\sin\ x)'}{1+\sin\ x}=\dfrac{1}{2} \Big( 1-\dfrac{\cos\ x}{1+\sin\ x} \Big)\) .
Полученное выражение можно упростить, выразив синус и косинус через тангенс половинного аргумента:
\(\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1+\sin\ x-\cos\ x}{1+\sin\ x}\Big)=\dfrac{1}{2}\Bigg(1+\dfrac{2\tg \dfrac{x}{2}}{1+\tg^2 \dfrac{x}{2}}-\dfrac{1-\tg^2 \dfrac{x}{2}}{1+\tg^2 \dfrac{x}{2}}\Bigg):\) [ ] \(=\dfrac{1}{2}\Bigg(\dfrac{1+\tg^2 \dfrac{x}{2}+2\tg \dfrac{x}{2}-1+\tg^2 \dfrac{x}{2}}{1+\tg^2 \dfrac{x}{2}}\Bigg)\cdot\) [ ] \(=\dfrac{\tg\dfrac{x}{2}\big(\tg^2\dfrac{x}{2}+1\big)}{\big(1+\tg\dfrac{x}{2}\big)^2}\) \(=\) [ ].