Основано на упр. 2 стр. 26

Перетащи правильные ответы

• \(3xyz\)
• \((x-y)^2\)
• \(\dfrac{u+v+w}{3}\)
• \(\sqrt[3]{uvw}\)

Разложи на множители многочлен \(P=x^3+y^3+z^3-3xyz\) и докажи, что для всех неотрицательных \(u, v, w\) справедливо неравенство \(\dfrac{u+v+w}{3}\ge \sqrt[3]{uvw}\) , связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое трех неотрицательных чисел.

Решение.

\(P=x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+xz+yz)\) , откуда следует, что \(P=(x+y+z)((x+y+z)^2-3\) \((xy+zx+yz))\) , где \((x+y+z)^2-3(xy+xz+yz)=x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz=\dfrac{1}{2}((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)\) .

Следовательно,

\(x^3+y^3+z^3-\) [ ] \(=\dfrac{1}{2}(x+y+z)(\) [ ] \(+(y-z)^2+(z-x)^2)\) .

Если, \(x\ge0, y\ge0, z\ge0\) , то \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\) . Полагая \(x^3=u, y^3=v, z^3=w\) , получаем [ ] \(\ge\) [ ].