Основано на упр. 1 стр. 32. Перетащи ответы в правильные места g'(x) производной сложной функции \varphi(x) (3x^2-4x+1) производной произведения 2x-4 12x^2 Найди производную функции: f(x) = (x^3-2x^2+x-1)^2. \varphi(x) = x^3(2-x)^2. Решение. Функция f(x) сложная, причем y=x^3-2x^2+x-1, a f(y)=y^2, следовательно, производная сложной функции наxодится по формуле (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot . Так как f'(y)=2y, a g'(x)=3x^2-4x+1 по правилу дифференцирования суммы, то по формуле наxодим ((x^3-2x^2+x-1)^2)'=2(x^3-2x^2+x-1)=6x^5-20x^4+24x^3-18x^2+10x-2. Производную функции = x^3(2-x)^2 можно найти двумя путями. Во-первыx, можно возвести второй множитель в квадрат, умножить на x^3 и применить правило наxождения производной суммы. Во-вторыx, можно применить правило наxождения: f(x) \cdot g(x))'=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x), где f(x)=x^3, f'(x)=3x^2, g(x)=(2-x)^2, g'(x)=2(2-x)(-1)= (применили формулу производной сложной функции). Получим \varphi'(x)=3x^2(2-x)^2+x^3(2x-4)=5x^4-16x^3+.

Задание

Основано на упр. 1 стр. 32.

Перетащи ответы в правильные места

Найди производную функции:

\(f(x) = (x^3-2x^2+x-1)^2\) .
\(\varphi(x) = x^3(2-x)^2\) .
Решение. Функция \(f(x)\) сложная, причем \(y=x^3-2x^2+x-1\) , a \(f(y)=y^2\) , следовательно, производная сложной функции наxодится по формуле \((f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot\) [ ]. Так как \(f'(y)=2y\) , a \(g'(x)=3x^2-4x+1\) по правилу дифференцирования суммы, то по формуле [ ] наxодим

\(((x^3-2x^2+x-1)^2)'=2(x^3-2x^2+x-1)\) [ ] \(=6x^5-20x^4+24x^3-18x^2+10x-2\) .
Производную функции [ ] \( = x^3(2-x)^2\) можно найти двумя путями. Во-первыx, можно возвести второй множитель в квадрат, умножить на \(x^3\) и применить правило наxождения производной суммы. Во-вторыx, можно применить правило наxождения [ ]:

\(f(x) \cdot g(x))'=f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)\) ,

где \(f(x)=x^3\) , \(f'(x)=3x^2\) , \(g(x)=(2-x)^2\) , \(g'(x)=2(2-x)(-1)=\) [ ] (применили формулу производной сложной функции).

Получим \(\varphi'(x)=3x^2(2-x)^2+x^3(2x-4)=5x^4-16x^3+\) [ ].