Задание

Основано на упр. 1, стр. 10

Перетащи ответы в нужные места

Докажи, что функция y = \cos2x возрастает на отрезке \begin{bmatrix} \cfrac{3\pi}{2}; 2\pi \end{bmatrix}.

Решение. Пусть x_1 и x_2 — значения аргумента из области определения функции, удовлетворяющие условиям

\cfrac{3\pi}{2} \le x_1 \lt x_2 \le 2\pi. Чтобы утверждать, что функция возрастает, докажем, что

\cos2x_2 \gt \cos2x_1 или

\cos2x_2 - \cos2x_1 \gt 0. Преобразуем разность с помощью формул половинного аргумента:

2\cos \, x^2_2 -1 -2 \cos \, x^2_1 +1=

3(\cos \, x^2_2 - \cos \, x^2_1) 2(\cos \, x^2_2 - \cos \, x^2_1) 3(\cos \, x^3_2 - \cos \, x^2_1) 2(\cos \, x^3_2 - \cos \, x^3_1)

= 2(\cos \, x_2 + \cos \, x_1)(\cos \, x_2 - \cos \, x_1). Выражение в первой скобке положительно, так как функция y = \cos \, x в четвертой четверти принимает положительные значения. Разность во второй скобке положительна, так как функция y = \cos \, x взрастает в промежутке \begin{bmatrix} \cfrac{3\pi}{2}; 2\pi \end{bmatrix}. Следовательно \cos \, 2x_2 - \cos \, 2x_1 \gt 0, \cos \, 2x_2 \gt \cos \, 2x_1 и функция y = \cos \, 2x возрастает на заданном промежутке.