Основано на упр. 1, стр. 10
Перетащи ответы в нужные места

Докажи, что функция \(y = \cos2x\) возрастает на отрезке \(\begin{bmatrix} \cfrac{3\pi}{2}; 2\pi \end{bmatrix}\) .

Решение. Пусть \(x\_1\) и \(x\_2\) — значения аргумента из области определения функции, удовлетворяющие условиям

\(\cfrac{3\pi}{2} \le x\_1 \lt x\_2 \le 2\pi\) . Чтобы утверждать, что функция возрастает, докажем, что

\(\cos2x\_2 \gt \cos2x\_1\) или

\(\cos2x\_2 - \cos2x\_1 \gt 0\) . Преобразуем разность с помощью формул половинного аргумента:

\(2\cos \, x^2\_2 -1 -2 \cos \, x^2\_1 +1=\)

• \(3(\cos \, x^2\_2 - \cos \, x^2\_1)\)
• \(2(\cos \, x^2\_2 - \cos \, x^2\_1)\)
• \(3(\cos \, x^3\_2 - \cos \, x^2\_1)\)
• \(2(\cos \, x^3\_2 - \cos \, x^3\_1)\)

[ ]
\(= 2(\cos \, x\_2 + \cos \, x\_1)(\cos \, x\_2 - \cos \, x\_1)\) . Выражение в первой скобке положительно, так как функция \(y = \cos \, x\) в четвертой четверти принимает положительные значения. Разность во второй скобке положительна, так как функция \(y = \cos \, x\) взрастает в промежутке \(\begin{bmatrix} \cfrac{3\pi}{2}; 2\pi \end{bmatrix}\) . Следовательно \(\cos \, 2x\_2 - \cos \, 2x\_1 \gt 0\) , \(\cos \, 2x\_2 \gt \cos \, 2x\_1\) и функция \(y = \cos \, 2x\) возрастает на заданном промежутке.