Основано на Примере 2 с решением стр. 25

Запиши ответы

Реши симметрическую систему уравнений

\(\begin{cases} x^4+x^2y^2+y^4=91, \\ x^2-xy+y^2=7.\end{cases}\)

Решение. Так как \(x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=u^2-2v\) , где \(u=x+y\) , \(v=xy\) , то

\(x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(u^2-2v)^2-2v^2=u^4-4u^2v+2v^2\)

и данная система преобразуется к виду

\(\begin{cases} u^4-4u^2v+3v^2=91, \\ u^2=7+3v. \end{cases}\)

Исключая из этой системы \(u^2\) , получаем \((7+3v)^2-4(7+3v)v+3v^2=91\) , откуда \(14v=42\) , \(v=3\) , \(u^2=16\) . Следовательно, данная система равносильна совокупности двух систем

\(\begin{cases} x+y=4, \\ xy=3\end{cases}\) \(\begin{cases} x+y=-4, \\ xy=3\end{cases}\)

и имеет 4 решения:

1. \(( \) [ ] \(;3)\) ,

2. \((3\) ;[ ] \()\) ,

3. \((-1\) ;[ ] \()\) ,

4. \((\) [ ] \(;-1)\) .