Основано на Примере 1 с решением стр. 24

Изучи пример с решением

Пусть \(х+y=u\) , \(xy=v\) , \(S\_n=x^n+y^n\) . Докажем рекуррентную формулу \(S\_n=uS\_{n-1}-vS\_{n-2}\) (1), позволяющую последовательно выразить через элементарные симметрические многочлены \(x+y\) и \(xy\) суммы \(S\_3, S\_4, S\_5, S\_6\) и т.д.

Решение. Воспользуемся равенством \((x+\) [ ] \()(x^{n-1}+y^{n-1})=x^n+y^n+\) [ ] \(y(x^{n-2}+y^{n-2})\) (2).

Так как \(x+y=u\) , [ ] \(y=v\) , \(S\_k=x^k+y^k\) , то из равенства (2) получаем \(uS\_{n-1}=S\_n+vS\_{n-2}\) , откуда следует формула (1).