Найдите последнюю цифру числа \(237^{2011}.\) Решите задачу, заполнив пропуски. Решение Последнюю цифру данного числа можно получить как при делении этого числа на 10. Поэтому для нахождения цифры числа можно использовать сравнение по модулю 10. Так как 237 ≡ (mod 10), то 2372011 ≡ 72011(mod 10). Выделим такую степень числа 7, которая по модулю 10 сравнима с небольшим (по абсолютной величине) числом. Так как 72 = ≡ -1 (mod 10), то 2011 = + 1 = 2 · 1005 + 1. Получив в результате сравнения отрицательное число, прибавим к нему его модуль, чтобы получить искомый остаток. В результате получим, что 72011 = 72010+1 = (72)1005· 71 ≡ 491005· 7 ≡ (-1)1005· 7 ≡ ≡ 3 (mod 10). Следовательно, последняя цифра данного числа равна .

Задание

Найдите последнюю цифру числа \(237^{2011}.\) Решите задачу, заполнив пропуски.

Решение
Последнюю цифру данного числа можно получить как ... при делении этого числа на 10. Поэтому для нахождения ... цифры числа можно использовать сравнение по модулю 10.
Так как 237 ≡ ... \(mod 10\), то 2372011 ≡ 72011\(mod 10\). Выделим такую степень числа 7, которая по модулю 10 сравнима с небольшим \(по абсолютной величине\) числом.
Так как 72 = ... ≡ -1 \(mod 10\), то 2011 = ... + 1 = 2 · 1005 + 1. Получив в результате сравнения отрицательное число, прибавим к нему его модуль, чтобы получить искомый остаток.
В результате получим, что 72011 = 72010+1 = \(72\)1005· 71 ≡ 491005· 7 ≡ \(\-1\)1005· 7 ≡ ... ≡ 3 \(mod 10\). Следовательно, последняя цифра данного числа равна ... .

Похожие

Тот же тест