Докажите, что число \(30^{99}+61^{100}\) делится на \(31.\) Решите задачу, заполнив пропуски.

Доказательство
Рассмотрим первое слагаемое 3099.
... ≡ \(\-1\) \(mod 31\),
302 ≡ 1 \(mod 31\),
303 ≡ \(\-1\) \(mod 31\),
304 ≡ ... \(mod 31\).
Получаем общую формулу 30n ≡ \(\-1\)n \(mod 31\), где n ∈ N.
Рассмотрим второе слагаемое 61100.
... ≡ \(\-1\) \(mod 31\),
612 ≡ 1 \(mod 31\),
613 ≡ \(\-1\) \(mod 31\),
614 ≡ 1 \(mod **\.\.\.** \).
Получаем общую формулу 61m ≡ \( **\.\.\.** \)m \(mod 31\), где n ∈ N.
Для суммы справедливо равенство 3099 + 61100 ≡ \(\-1\)99 + \(\-1\)100\(mod 31\), т. е. 3099 + 61100 ≡ ... \(mod 31\).
Что и требовалось доказать.