На какую цифру оканчивается число \(777^{777}?\) Решите задачу, заполнив пропуски.

Решение
Представим выражение 777 = 7 · ... , тогда 777777 = \(7 · 111\)777 = 7777 · 111777 .
Найдём последнюю цифру числа 7777.
72 ≡ ... \(mod 10\),
72 ≡ ... \(mod 10\),
7776 ≡ \(\-1\)388 \(mod 10\),
7776 · 7 ≡ ... · 7 \(mod 10\).
Число 111 оканчивается 1 при возведении в любую натуральную степень, значит, 111111 ≡ 1 \(mod 10\), следовательно, 7777 · 111777 ≡ 7 · 1 \(mod 10\), т. е. число 777777 оканчивается на ... .