Изучи теорию и заполни пропуски

При решении уравнений важно найти ответы на следующие вопросы:

1. Как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием?
2. Какие преобразования могут привести данное уравнение в уравнение-следствие?
3. В каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Ответить на эти вопросы тебе помогут теоремы о равносильности.

Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 3 Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) (где \(а\lt 0\) , \(a\ne 1\) )равносильно уравнению \(f(x)=g(x)\) .

Теоремы \(1,2,3\) гарантируют равносильность преобразований без выполнения каких-либо дополнительных условий.

Теорема 4. Если обе части уравнения \(f(x)=g(x)\) умножить на одно и то же выражение \(h(x)\) , которое:

а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых значений) уравнения \(f(x)=g(x)\) ;

б) нигде в этой области не обращается в \(0\) ,

то получится уравнение \(f(x)h(x)=g(x)h(x)\) , равносильное данному в его ОДЗ.

Следствие теоремы 4: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Теорема 5. Если обе части уравнения \(f(x)=g(x)\) не отрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же чётную степень \(n\) получится уравнение, равносильное данному в его ОДЗ.

Реши уравнения.

1. \(2^{x+4}=2^{2x}\) .

   Решение:

   1. по [теореме 3|теореме 2|теореме 1] перейдём к равносильному уравнению;

   2. \(x+4=2x\) ;

   3. \(x=\) [ ].

2. \((x-2)(x^2+1)=2(x^2+1)\) .

   Решение:

   1. так как выражение \(x^2+1\ne 0\) при \(x\in R\) , то по следствию из [теоремы 1|теоремы 4|теоремы 5], если обе части уравнения разделить на \(x^2+1\ne 0\) , получим уравнение, равносильное данному: [ ];

   2. \(x=\) [ ].