Изучи этапы и заполни пропуски

Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют преобразования по схеме \((1) → (2) → (3)→ (4) → ...\) и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.

Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя проведённые преобразования, отвечают на вопрос: все ли они были равносильными.

Третий этап — проверка. Если анализ, проведённый на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

Реши уравнение: \(\dfrac{x-3}{x-5}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+5}{x(x-5)}\) .

Решение.

\(1.\) Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение: [ ].

\(2.\) Умножим обе части уравнения на найденный общий знаменатель и получим целое уравнение: \(x(x-3)+x-5=\) [ ].

\(3.\) Приведём уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\) .

Получим: [ ] \(=0\) .

\(4.\) Уравнение имеет два корня: \(x\_1=\) [ ], \(x\_2=\) [ ].

\(5.\) Проведём анализ решения уравнения.

Все ли проведенные преобразования были равносильными? Из курса основной школы ты знаешь, что любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на [ ].

\(6)\) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одной и то же число, не равное нулю.

В нашем решении мы умножали обе части уравнения на выражение \(x(x-5)\) , поэтому мы могли получить уравнение-следствие за счет расширения области определения исходного уравнения.

\(7.\) Проверка.

Если \(x=5\) , то \(x(x-5)=\) [ ].

Если \(x=-2\) , то \(x(x-5)=\) [ ].

Таким образом, число 5 не является решением данного уравнения.

Ответ: \(x=\) [ ].