Используя чертёж и краткую запись условия, выполни доказательство. Дано: \triangle ABC, BO и CO — биссектрисы, BM=MO, NC=ON. Докажи, что точки M, O, N лежат на одной прямой. Доказательство. Так как BO — биссектриса, значит \angle 1=\angle по биссектрисы. Аналогично, так как CO — биссектриса, значит \angle 4=\angle . Рассмотрим \triangle MBO, так как MB= , значит, по определению \triangle MBO — , \angle MOB=\angle , по равнобедренного треугольника. Значит, \angle MOB=\angle MBO=\angle . Угол MOB и угол OBC углы при прямых MO и BC и секущей BO. А так как углы равны, значит, прямые MO и BC . Рассмотрим \triangle CON, так как ON= , значит, по определению \triangle CON — , \angle NOC=\angle , по равнобедренного треугольника. Значит, \angle NOC=\angle NCO=\angle . Угол NOC и угол OCB углы при прямых NO и BC и секущей CO. А так как углы равны, значит, прямые NO и BC . Значит, по аксиоме параллельности прямых, мы знаем, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Тогда через точку O проходит прямая MN, значит, точки M, O, N лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Логотип SimpleЦДЗ

Похожие

Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Используя чертёж и краткую запись условия, выполни доказательство.

Дано:

\(\triangle ABC\) ,

\(BO\) и \(CO\) — биссектрисы,

\(BM=MO\) ,

\(NC=ON\) .

Докажи, что точки \(M\) , \(O\) , \(N\) лежат на одной прямой.

Доказательство.

Так как \(BO\) — биссектриса, значит \(\angle 1=\angle \) [ ] по [определению|свойству] биссектрисы. Аналогично, так как \(CO\) — биссектриса, значит \(\angle 4=\angle \) [ ].

Рассмотрим \(\triangle MBO\) , так как \(MB=\) [ ], значит, по определению \(\triangle MBO\) — [равнобедренный|равносторонний|разносторонний], \(\angle MOB=\angle \) [ ], по [свойству|признаку] равнобедренного треугольника.

Значит, \(\angle MOB=\angle MBO=\angle\) [ ].

Угол \(MOB\) и угол \(OBC\) [накрест лежащие|односторонние] углы при прямых \(MO\) и \(BC\) и секущей \(BO\) . А так как [накрест лежащие|односторонние] углы равны, значит, прямые \(MO\) и \(BC\) [параллельны|пересекаются].

Рассмотрим \(\triangle CON\) , так как \(ON=\) [ ], значит, по определению \(\triangle CON\) — [равнобедренный|равносторонний|разносторонний], \(\angle NOC=\angle \) [ ], по [свойству|признаку] равнобедренного треугольника.

Значит, \(\angle NOC=\angle NCO=\angle\) [ ].

Угол \(NOC\) и угол \(OCB\) [накрест лежащие|односторонние] углы при прямых \(NO\) и \(BC\) и секущей \(CO\) . А так как [накрест лежащие|односторонние] углы равны, значит, прямые \(NO\) и \(BC\) [параллельны|пересекаются].

Значит, по аксиоме параллельности прямых, мы знаем, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Тогда через точку \(O\) проходит прямая \(MN\) , значит, точки \(M\) , \(O\) , \(N\) лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Тот же тест