Заполни пропуски в доказательстве
Используя чертёж и краткую запись условия, выполни доказательство.
Дано:
\(\triangle ABC\) ,
\(BO\) и \(CO\) — биссектрисы,
\(BM=MO\) ,
\(NC=ON\) .
Докажи, что точки \(M\) , \(O\) , \(N\) лежат на одной прямой.
Доказательство.
Так как \(BO\) — биссектриса, значит \(\angle 1=\angle \) [ ] по [определению|свойству] биссектрисы. Аналогично, так как \(CO\) — биссектриса, значит \(\angle 4=\angle \) [ ].
Рассмотрим \(\triangle MBO\) , так как \(MB=\) [ ], значит, по определению \(\triangle MBO\) — [равнобедренный|равносторонний|разносторонний], \(\angle MOB=\angle \) [ ], по [свойству|признаку] равнобедренного треугольника.
Значит, \(\angle MOB=\angle MBO=\angle\) [ ].
Угол \(MOB\) и угол \(OBC\) [накрест лежащие|односторонние] углы при прямых \(MO\) и \(BC\) и секущей \(BO\) . А так как [накрест лежащие|односторонние] углы равны, значит, прямые \(MO\) и \(BC\) [параллельны|пересекаются].
Рассмотрим \(\triangle CON\) , так как \(ON=\) [ ], значит, по определению \(\triangle CON\) — [равнобедренный|равносторонний|разносторонний], \(\angle NOC=\angle \) [ ], по [свойству|признаку] равнобедренного треугольника.
Значит, \(\angle NOC=\angle NCO=\angle\) [ ].
Угол \(NOC\) и угол \(OCB\) [накрест лежащие|односторонние] углы при прямых \(NO\) и \(BC\) и секущей \(CO\) . А так как [накрест лежащие|односторонние] углы равны, значит, прямые \(NO\) и \(BC\) [параллельны|пересекаются].
Значит, по аксиоме параллельности прямых, мы знаем, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Тогда через точку \(O\) проходит прямая \(MN\) , значит, точки \(M\) , \(O\) , \(N\) лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.