Назовём медианой тетраэдра отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани. Докажи, что все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра. Доказательство. Пусть точки A_1 и B_1 — середины отрезков BC и AC, O_1 и O_2 — точки пересечения медиан граней ABC и BCD. Обозначим буквой M точку на медиане DO_1 тетраэдра, такую, что DM:MO_1=3:1, буквой K — точку на медиане AO_2, такую, что AK:KO_2=3:1. Докажем, что точки M и K совпадают. 1) Так как DM : MO_1 = 3 : 1, то DM= MO_1, и, следовательно, для произвольной точки X пространства выполняется равенство \vec{XM}=\dfrac{\vec{XD}+(y)\vec{XO_1}}{1+(z)}, где y= , z= , т.е. \vec{XM}=\dfrac{1}{4}\vec{XD}+\dfrac{3}{4} .(1) 2) Медианы AA_1 и BB_1 треугольника пересекаются в точке , поэтому BO_1 : O_1B_1 = : 1. Следовательно, BO_1= 2 , и потому для точки X выполняется равенство \vec{XO_1}=\dfrac{\vec{XB}+(y)}{1+(z)}, где y= , z= , т. е. \vec{XO_1}=\dfrac{1}{3}\vec{XB}+\dfrac{2}{3} .(2) 3) Точка B_1 — отрезка AC, поэтому \vec{XB_1}=\dfrac{1}{2}\vec{XA}+\dfrac{1}{2} . 4) Подставив выражение для \vec{XB_1} в равенство (2), получим \vec{XO_1} = \dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}(\vec{XA}+ )=\dfrac{1}{3}(\vec{XA}+ +\vec{XC}). 5) Подставим теперь полученное разложение вектора \vec{XO_1} по векторам \vec{XA}, и \vec{XC} в равенство (1): \vec{XM}=\dfrac{1}{4} +\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}( =\dfrac{1}{4}(\vec{XA}+ + ). 6) Аналогично рассуждая для точки K и произвольной точки X, получаем равенство \vec{XK}=\dfrac{1}{4}(\vec{XA}+ +\vec{XC}+ . Следовательно, точки M и совпадают, т. е. медианы DO_1 и AO_2 тетраэдра в точке M и делятся ею в отношении , считая от вершин D и A соответственно. 7) Таким же образом это утверждение доказывается и для остальных двух тетраэдра.

Задание

Заполни пропуски в доказательстве

Назовём медианой тетраэдра отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани.

Докажи, что все четыре медианытетраэдра пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении \(3:1\) , считая от вершины тетраэдра.

Доказательство.

Пусть точки \(A\_1\) и \(B\_1\) — середины отрезков \(BC\) и \(AC\) , \(O\_1\) и \(O\_2\) — точкипересечения медиан граней \(ABC\) и \(BCD\) . Обозначим буквой \(M\) точку на медиане \(DO\_1\) тетраэдра, такую, что \(DM:MO\_1=3:1\) , буквой \(K\) —точку на медиане \(AO\_2\) , такую, что \(AK:KO\_2=3:1\) . Докажем, чтоточки \(M\) и \(K\) совпадают.

Так как \(DM : MO\_1 = 3 : 1\) , то \(DM\) =[ ] \(MO\_1\) , и, следовательно, для произвольной точки \(X\) пространства выполняется равенство

\(\vec{XM}=\dfrac{\vec{XD}+(y)\vec{XO\_1}}{1+(z)}\) , где \(y=\) [ ], \(z=\) [ ],

т.е.

\(\vec{XM}=\dfrac{1}{4}\vec{XD}+\dfrac{3}{4}\) [ ]. \((1)\)

Медианы \(AA\_1\) и \(BB\_1\) треугольника [ ] пересекаются в точке[ ], поэтому \(BO\_1 : O\_1B\_1 =\) [ ] \(: 1\) . Следовательно, \(BO\_1= 2\) [ ], и потому для точки \(X\) выполняется равенство

\(\vec{XO\_1}=\dfrac{\vec{XB}+(y)}{1+(z)}\) , где \(y=\) [ ], \(z=\) [ ],

т. е. \(\vec{XO\_1}=\dfrac{1}{3}\vec{XB}+\dfrac{2}{3}\) [ ]. \((2)\)

Точка \(B\_1\) — [ ] отрезка \(AC\) , поэтому \(\vec{XB\_1}=\dfrac{1}{2}\vec{XA}+\dfrac{1}{2}\) [ ].
Подставив выражение для \(\vec{XB\_1}\) в равенство \((2)\) , получим \(\vec{XO\_1} = \dfrac{1}{3}\) [ ] \(+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}(\vec{XA}+\) [ ] \()=\dfrac{1}{3}(\vec{XA}+\) [ ] \(+\vec{XC}).\)
Подставим теперь полученное разложение вектора \(\vec{XO\_1}\) по векторам \(\vec{XA}\) , [ ] и \(\vec{XC}\) в равенство (1): \(\vec{XM}=\dfrac{1}{4}\) [ ] \(+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}(\) [ ] \(=\dfrac{1}{4}(\vec{XA}+\) [ ]+[ ]).
Аналогично рассуждая для точки \(K\) и произвольной точки \(X\) , получаем равенство

\(\vec{XK}=\dfrac{1}{4}(\vec{XA}+\) [ ] \(+\vec{XC}+\) [ ].

Следовательно, точки \(M\) и [ ] совпадают, т. е. медианы \(DO\_1\) и \(AO\_2\) тетраэдра [ ] в точке \(M\) и делятся ею в отношении [ ], считая от вершин \(D\) и \(A\) соответственно.

Таким же образом это утверждение доказывается и для остальных двух [ ] тетраэдра.

Похожие

Тот же тест