Заполни пропуски

Докажи теорему.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник \(ABC\) , площадь которого равна \(S\) , такой, что \(BC=a\) , \(AC=b\) и \(\angle C=\gamma \) . Докажем, что \(S=\) [ ].

Возможны три случая:

1)угол \(\gamma \) — острый (рис. а);

2)угол \(\gamma \) — тупой (рис. б);

3)угол \(\gamma \) — прямой.

Проведём высоту \(BD\) треугольника \(ABC\) (рис. а, б).

Тогда \(S=\dfrac{1}{2}BD\,\cdot \) [ \(AC\) | \(AB\) | \(BC\) ] \(=\dfrac{1}{2}BD\,\cdot\) [ \(a\) | \(b\) | \(AB\) ].

В треугольнике \(BDC\) в первом случае (рис. а) \(BD=a\,\cdot\) [ ], а во втором (рис. б) — \(BD=a\,\cdot\) [ ] \(=\) [ ]. Отсюда для обоих случаев имеем: \(S=\) [ ].

Если угол \(C\) прямой, то \(\sin \gamma =\) [ ]. Для [остроугольного|прямоугольного|тупоугольного] треугольника \(ABC\) с катетами \(AC\) и[ ] имеем:

\(S=\) \(\dfrac{1}{2}ab\sin \) [ ].