Докажи равенство

1. \(2 \arctg \cfrac{1}{4} + \arctg \cfrac{7}{23} = \cfrac{\pi}{4}\) ;

2. \(\arcsin \cfrac{5}{13} +2 \arctg \cfrac{2}{13} = \cfrac{\pi}{2}\) .

Решение.

1. Пусть \(\arctg \cfrac{1}{4} = \alpha\) , \(\arctg \cfrac{7}{23} = \beta\) . Тогда \(\nobreak{\tg \alpha = \cfrac{1}{4}}\) , \(\tg \beta = \cfrac{7}{23}\) , \(\nobreak{0 \lt 2\alpha \lt \cfrac{\pi}{2}}\) , \(\nobreak{0 \lt \cfrac{\pi}{4} - \beta \lt \cfrac{\pi}{4}}\) , и для доказательства равенства \(2\alpha = \cfrac{\pi}{4}- \beta\) достаточно установить, что \(\tg 2\alpha = \tg \left(\cfrac{\pi}{4} - \beta \right)\) . Это равенство является верным, так как \(\tg 2\alpha = \cfrac{\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{16}} = \cfrac{8}{15}\) , \(\tg \left(\cfrac{\pi}{4} - \beta \right) = \cfrac{1-\cfrac{7}{23}}{1+\cfrac{7}{23}} = \cfrac{16}{30} = \cfrac{8}{15}\) .

2. Так как \(\cfrac{\pi}{2} - \arcsin \cfrac{5}{13}= \arccos \cfrac{5}{13}\) , то задача сводится к доказательству равенства \(2\alpha = \beta\) , где \(\alpha = \arctg \cfrac{2}{3}\) , \(\beta = \arccos \cfrac{5}{13}\) , \(0 \lt 2\alpha \lt \cfrac{\pi}{2}\) , \(0 \lt \beta \lt \cfrac{\pi}{2}\) . Отсюда следует, что равенство \(2\alpha = \beta\) является верным, если \(\tg 2\alpha = \tg \beta\) . Учитывая, что \(\tg \alpha = \cfrac{2}{3}\) , \(\tg 2\alpha = \cfrac{\cfrac{4}{3}}{1-\cfrac{4}{9}} = \cfrac{12}{5}\) , \(\cos \beta = \cfrac{5}{13}\) , \(\sin \beta = \sqrt{1-\cfrac{25}{169}} = \cfrac{12}{13}\) , находим \(\tg \beta = \cfrac{12}{5}\) , т. е. \(\tg 2\alpha = \tg \beta\) .