Закончи вычисления

1. \(\tg (\arctg 2 + \arctg 3)\) ;

2. \(\tg \left(\arctg 3 - \arctg \dfrac{1}{2}\right)\) ;

3. \(\tg \left(2 \arcsin \dfrac{2}{3}\right)\) ;

4. \(\arctg \left(\tg \dfrac{5\pi}{8}\right)\) ;

5. \(\arctg (\tg 23)\) .

Решение.

1. Пусть \(\arctg 2 = \alpha\) , \(\arctg 3 = \beta\) . Так как \(\tg \alpha = 2\) , \(\tg \beta = 3\) , то по формуле тангенса суммы \(\tg (\alpha + \beta) = \dfrac{\tg \alpha+ \tg \beta}{1-\tg \alpha \tg \beta} = \dfrac{5}{-5} = -1\) .

2. Пусть \(\arctg 3 = \alpha\) , \(\arctg \dfrac{1}{2} = \beta\) , тогда \(\tg (\alpha - \beta) = \dfrac{3-\dfrac{1}{2}}{1+3 \cdot \dfrac{1}{2}} =1\) .

3. Пусть \(\arcsin \cfrac{2}{3} = \alpha\) , тогда \(\sin \alpha = \dfrac{2}{3}\) , \(\cos \alpha = \sqrt{1-\dfrac{4}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}\) , \(\tg \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\) , \(\tg\left(2 \arcsin \dfrac{2}{3}\right) = \tg 2 \alpha = \dfrac{2 \tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha} = \dfrac{\dfrac{4}{\sqrt{5}}}{1-\dfrac{4}{5}} = 4\sqrt{5}\) .

4. Заменим \(\tg \dfrac{5\pi}{8}\) на тангенс угла, заключённого между \(-\dfrac{\pi}{2}\) и \(\dfrac{\pi}{2}\) . Так как \(\nobreak{\tg \dfrac{5\pi}{8} = -\tg \dfrac{3\pi}{8} = \tg \left(-\dfrac{3\pi}{8}\right)}\) , где \(\dfrac{-\pi}{2} \lt -\dfrac{3\pi}{8} \lt 0\) , то \(\nobreak{\arctg \left(\tg \dfrac{5\pi}{8}\right) = \arctg \left(\tg \left(-\dfrac{3\pi}{8}\right)\right) = -\dfrac{3\pi}{8}}\) .

5. Используя неравенство \(0 \lt 22 - 7\pi \lt \dfrac{\pi}{2}\) , получаем \(\nobreak{\arctg (\tg 22) = \arctg(\tg(22-7\pi)) = 22-7\pi}\) .