Задание

Докажи иррациональность числа

Докажем иррациональность числа \log_2 5.

Доказательство.

Предположим, что \log_2 5 — число рациональное, т. е. пусть \log_2 5=\dfrac{p}{q}, где p и q — натуральные числа, не имеющие общего делителя. Тогда по определению логарифма справедливо равенство 2^{\frac{p}{q}}=5. Возведя это равенство в степень q, получим верное равенство 2^p=5^q. Но последнее равенство невозможно ни для каких натуральных чисел p и q, так как в левой его части всегда чётное число, а в правой — нечётное. Следовательно, \log_2 5 — число иррациональное, что и требовалось доказать.